Данные в матрице
В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам. Перетащите из панели данных отчета поле набора данных, по которому будут группироваться строки матрицы, на панель «Группы строк». Матрицы играют важную роль в теории групп. Вот и получается, что логарифм отрицательного аргумента — это какая-то неведомая сущность, то точно не-число.
После развития теории определителей в конце го века Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в м столетии и опубликовал « правило Крамера » в году.
Примерно в этом же промежутке времени появился « метод Гаусса ».
Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу , Жордану , Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в г. Матрицы естественным образом возникают при решении систем линейных уравнений , а также при рассмотрении линейных преобразований.
Рассмотрим систему линейных уравнений вида:. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения :. На языке матриц условие разрешимости системы линейных уравнений формулируется в виде теоремы Кронекера-Капелли :. Важный частный случай. Разрешимость системы ещё не влечёт невырожденности матрицы. Это приводит к алгоритму вычисления значений неизвестных по правилу Крамера. Матрица записывается как. Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число см.
Рангом матрицы называют количество линейно независимых столбцов матрицы столбцовый ранг матрицы или количество линейно независимых строк матрицы строчный ранг матрицы. Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Можно встретить как обозначения с круглыми скобками « … », так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями « … ».
Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов. Кроме главной диагонали иногда рассматриваются элементы матрицы, стоящие непосредственно над диагональными элементами. Эти элементы образуют наддиагональ матрицы. Элементы, расположенные непосредственно под диагональю образуют поддиагональ матрицы см.
Бидиагональная матрица. Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица или вектор остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными всеми диагональными элементами:.
Для её обозначения чаще всего используется обозначение I или E , а также просто 1 или 1 специальным шрифтом. Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:. Впрочем, прежде всего во избежание терминологической путаницы, матрицы в обычных контекстах избегают без необходимости которой нет в наиболее обычных стандартных применениях и четкого уточнения употребления термина называть векторами.
По обычным правилам матричного умножения вектор-столбец умножается на матрицу, которая записывается слева от него, а вектор-строка умножается на матрицу, которая записывается справа от неё. Поскольку элементы вектора-столбца или вектора-строки можно записать что обычно и делается , используя один, а не два индекса, это умножение можно записать так:. Эти операции являются основой матричного представления линейных операторов и линейных преобразований координат смены базисов , таких, как повороты, масштабирования, зеркальные отражения, а также последнее матричного представления билинейных квадратичных форм.
Заметим, что обычной мотивировкой введения матриц и определения операции матричного умножения см. Действительно, если новый вектор Av , полученный из исходного вектора v преобразованием, представимым умножением на матрицу A , преобразовать теперь ещё раз, преобразованием, представимым умножением на матрицу B , получив B Av , то, исходя из правила умножения вектора на матрицу, приведенного в начале этого параграфа используя ассоциативность умножения чисел и меняя порядок суммирования , нетрудно увидеть в результате формулу, дающую элементы матрицы BA , представляющую композицию первого и второго преобразований и совпадающую с обычным определением матричного умножения.
С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно. Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации, то говорят о линейной зависимости данного вектора от элементов комбинации.
Точнее, говорят так: некоторая совокупность элементов векторного пространства называется линейно зависимой , если существует равная нулю линейная комбинация элементов данной совокупности или. Линейная зависимость векторов означает, что какой-то вектор заданной совокупности линейно выражается через остальные векторы. Каждая матрица представляет собой совокупность векторов одного и того же пространства.
Можно добавить один или несколько элементов в матрицу путем размещения их за пределами существующих контуров индекса строки и столбца.
Например, создайте матрицу 2 на 3 и добавьте дополнительную строку и столбец в него путем вставки элемента в 3,4 положение. Можно также расширить размер путем вставки новой матрицы за пределами существующих областей значений индекса. Расширять размер матрицы неоднократно, такой как в for цикл, обычно лучше предварительно выделить место для самой большой матрицы, которую вы ожидаете создавать. Например, предварительно выделите матрицу, которая содержит до 10 строк и 10 столбцов путем инициализации ее элементов, чтобы обнулить.
Если необходимо предварительно выделить дополнительные элементы позже, можно расширить его путем присвоения за пределами матричных областей значений индекса или конкатенировать другую предварительно выделенную матрицу к A.
Пустые массивы полезны для представления концепции "ничего" программно. Например, предположите, что вы хотите найти все элементы вектора, которые меньше 0, но нет ни одного. Много алгоритмов содержат вызовы функции, которые могут возвратить пустые массивы. Часто полезно позволить пустым массивам течь через эти алгоритмы как аргументы функции вместо того, чтобы обработать их как особый случай.
Если действительно необходимо настроить обработку пустого массива, можно проверять на них использующий isempty функция. У вас есть модифицированная версия этого примера.
Вы хотите открыть этот пример со своими редактированиями? Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.
Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.
Безусловно, это так — в рамках Евклидовой геометрии, которую мы в давнем прошлом учили. Однако это не единственный способ смотреть на вещи. С точки зрения структур данных, вектор — это одномерный массив , а если по-русски, то набор элементов одного типа например, чисел.
Эти два представления, на самом деле, не противоречат друг другу. Геометрически, как мы сказали, вектор — это направленный отрезок. Он задаётся через координаты начала и конца. Если мы условимся всегда начинать вектор из начала координат — то есть будет считать равными все векторы, которые имеют одинаковую длину и одинаковое направление 1 — то мы сможем задавать вектор только через координаты его конца. Чтобы создать вектор в R надо воспользоваться функцией c. Она принимает неограниченное количесво аргументов, которые объединяет в вектор.
В вектор можно объединить элементы только одного типа. Сохраним получившийся числовой вектор в переменную v. Присваивание векторов ничем не отличается от присваивания чисел, во-первых, потому что в R нет скаляров , и все числа — это векторы типа numeric длиной 1, а во-вторых, потому что и число, и вектор, и другие структуры данных и даже функции! А assignment — не что иное, как присваивание имени некоторому объекту, и нет разницы, что мы называем — число, матрицу, список, датафрейм или функцию.
С приведением типов мы уже сталкивались, когда пытались складывать логические константы. Аналогично R действовал и здесь:. А всё-таки: что есть 2? А будет ли работать и как именно ручное приведение numeric к logical? С помощью функции as. Наблюдаем, что все свелось к типу character , что вполне ожидаемо, так как 2 в "2" превращается однозначно, а вот в какое число или логическую константу превратить "string" , не очень понятно. Создавать руками вектора — это, конечно, радостно и приятно, но не очень юзабельно.
На практике часто возникает потребность сгенерировать определенную числовую последовательность. Например, у вас есть опросниковые данные, из которых необходимо удалить персональные данные, но при этом сохранить возможность соотнести персональные данные и результаты анализа по каждому респонденту — вам нужно сгенерировать переменную ID.
Вам поможет оператор : , который генерирует последовательность в заданных пределах с шагом Если вам нужна последовательно с другим шагом, например, 0. Допустим, у вас есть данные пусть выборка будет 15 человек , в которых каждые две строки относятся к одному респонденту, но к двум различным экспериментальным условиям экспериментальному и контрольному. Тогда можно сделать такие переменные:.
Сгенерируйте последовательность от до с шагом 4, в которой каждый элемент будет повторяться подряд три раза. Также можно сгенерировать случайную последовательность чисел например, для того, чтобы использовать её при сабсете случайной подвыборки данных :. По умолчанию функция sample генерирует случайную последовательность с учетом того, что выпадение каждого числа равновероятно. Как изменить это условие? Сгенерируйте случайную последователность из 30 чисел от 1 до 10 при условии, что единица выпадает в два раза чаще, чем все остальные числа.
Чтобы результат получился такой же, как ниже, перед выполнением команды sample Операции, которые можно выполнять над векторами зависят от типа данных, которые содержатся в векторе. Чаще всего мы будем работать с числовыми векторами, поэтому разберем подробно именно их. Они выполняются поэлементно, то есть соответсвующие элементы двух векторов складываются вычитаются, умножаются, делятся , и в результате получается новый вектор.
Большинство арифметических функций выполняется поэлементно, однако существуют такие, которые поэлементно не могут быть выполнены, например сумма по вектору:.
Доныне мы складывали векторы одинаковой длины. С ними всё ясно — они складываются поэлементно. А что будет, если мы сложим векторы разной длины? Внимательно посмотрим на результат. В первом случае мы складывали вектор из десяти элементов и вектор из двух элементов.
Чтобы выполнирь эту операцию R выполняет зацикливание recycling более короткого из двух, чтобы каждый элемент большего по длине вектора получил в соответствии элементн меньшего. Так как десять кратно двум, то по сути было выполнена следующая команда:. Во втором случае длина меньшего вектора не кратна длине большего, поэтому recycling происходит до тех пор, пока не будут покрыты все элемент большего вектора.
Вектор из трех элементов укладывается на вектор из десяти элементов три раза — поэтому мы видим в результате три раза последовательность 59, 11, 41 — и остается ещё один десятый элемент, который суммируется в первым элементом меньшего вектора — поэтому последний элемент в векторе результата В практике мы постоянно сталкиваемся в необходимость анализировать не все данные в векторе, а их часть. Поэтому встаёт вопрос о том, как эту часть извлечь? Логика проста — чтобы взять часть вектора, нам нужен вектор индексов тех элементов, которые мы хотим вытащить.
Его мы поместим в квадратные скобки — и будет нам счастье. Вектор индектов можно получить любыми способами:. Выберите из получившего вектора все значения, кроме тех , которые попадут в случайную подвыборку из 50 наблюдений. Вычислите сумму элементов получившегося вектора. Функции sample необходимы границы интервала, из которого она генерирует случайную подвыборку.
Одна из границ интервала — длина вектора, с которым вы работаете. Особого внимания заслуживает индексация логическими векторами. Например, мы хотим отобрать все элементы вектора, которые больше некоторого числа. Как это сделать? Нам нужен вектор, которым мы будем индексировать исходный вектор. Как его получить? Известно, что при сравнении векторов между собой получается логический вектор.
Но ведь число — это тоже вектор, просто единичной длины? Значит, если мы будем сравнивать вектор с числом, произойдёт recycling, в результате которого каждый элемент вектора будет сравнен с этим числом. То есть:. Вектор есть. Можно ли им проидексировать наш исходный вектор v1?
